MECÂNICA QUÂNTICA HARMÔNICA GENERALIZADA DE ANCELMO L. GRACELI [1.964]

MECÂNICA QUÂNTICA DIMENSIONAL POTENCIAL HARMÔNICA GENERALIZADA DE ANCELMO L. GRACELI.

[Gd* $G_{\mu \nu }\$ ] $G$ * $G_{\mu \nu }\$ / ${\mathcal {T}}$ $\psi$ [ $F\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \mathrm {d} A.$ ] [ ${\vec {A}}\ \$ $\phi \ \$ ] [ [ $F_{0}$ $\omega$ $\phi$ ]

$\langle A\rangle =\nome do operador {tr} (A\rho).$

[Gd* $G_{\mu \nu }\$ ] $G$ * $G_{\mu \nu }\$ / ${\mathcal {T}}$ $\psi$ [ $F\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \mathrm {d} A.$ ] [ ${\vec {A}}\ \$ $\phi \ \$ ] [ [ $F_{0}$ $\omega$ $\phi$ ] [

S=-\operatorname {tr} (\rho \ln \rho ),

$]$ [ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$

[Gd* $G_{\mu \nu }\$ ] $G$ * $G_{\mu \nu }\$ / ${\mathcal {T}}$ $\psi$ [ $F\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \mathrm {d} A.$ ] [ ${\vec {A}}\ \$ $\phi \ \$ ] [ [ $F_{0}$ $\omega$ $\phi$ ]

\rho =\sum _{j}\eta _{j}\left|j\right\rangle \left\langle j\right|,

$]$ [ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$

[Gd* $G_{\mu \nu }\$ ] $G$ * $G_{\mu \nu }\$ / ${\mathcal {T}}$ $\psi$ [ $F\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \mathrm {d} A.$ ] [ ${\vec {A}}\ \$ $\phi \ \$ ] [ [ $F_{0}$ $\omega$ $\phi$ ] [

S=-\sum _{j}\eta _{j}\ln \eta _{j}.

[ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$

mecânica estatística quântica é a mecânica estatística aplicada a sistemas quânticos . Ela se baseia na construção de matrizes de densidade que descrevem sistemas quânticos em equilíbrio térmico . Suas aplicações incluem o estudo de conjuntos de partículas idênticas , o que fornece uma teoria que explica fenômenos como a supercondutividade e a superfluidez .

Matrizes de densidade, valores esperados e entropia.

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Em mecânica quântica, as probabilidades dos resultados de experimentos realizados em um sistema são calculadas a partir do estado quântico que descreve esse sistema. Cada sistema físico está associado a um espaço vetorial , ou mais especificamente a um espaço de Hilbert . A dimensão do espaço de Hilbert pode ser infinita, como no caso do espaço de funções de quadrado integrável em uma reta, que é usado para definir a física quântica de um grau de liberdade contínuo. Alternativamente, o espaço de Hilbert pode ter dimensão finita, como ocorre para graus de liberdade de spin . Um operador de densidade, a representação matemática de um estado quântico, é um operador semidefinido positivo , autoadjunto , de traço um, que atua no espaço de Hilbert do sistema. ^[ 1 ]^[ 2 ]^[ 3 ] Um operador de densidade que é uma projeção de posto 1 é conhecido como um estado quântico puro , e todos os estados quânticos que não são puros são designados como mistos . ^[ 4 ] Estados puros também são conhecidos como funções de onda . Atribuir um estado puro a um sistema quântico implica certeza sobre o resultado de alguma medição nesse sistema. O espaço de estados de um sistema quântico é o conjunto de todos os estados, puros e mistos, que podem ser atribuídos a ele. Para qualquer sistema, o espaço de estados é um conjunto convexo : Qualquer estado misto pode ser escrito como uma combinação convexa de estados puros, embora não de forma única . ^[ 5 ]

O exemplo prototípico de um espaço de Hilbert de dimensão finita é um qubit , um sistema quântico cujo espaço de Hilbert é bidimensional. Um estado arbitrário para um qubit pode ser escrito como uma combinação linear das matrizes de Pauli , que fornecem uma base para $2\times 2$ matrizes autoadjuntas: ^[ 6 ] $\rho ={\tfrac {1}{2}}\left(I+r_{x}\sigma _{x}+r_{y}\sigma _{y}+r_{z}\sigma _{z}\right),$ onde os números reais $(r_{x},r_{y},r_{z})$ são as coordenadas de um ponto dentro da bola unitária e $\sigma _{x}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}},\quad \sigma _{y}={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}},\quad \sigma _{z}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}.$

Em probabilidade e estatística clássicas, o valor esperado (ou esperança) de uma variável aleatória é a média dos valores possíveis que essa variável aleatória pode assumir, ponderada pelas respectivas probabilidades desses resultados. O conceito correspondente na física quântica é o valor esperado de uma observável . Quantidades fisicamente mensuráveis são representadas matematicamente por operadores autoadjuntos que atuam no espaço de Hilbert associado a um sistema quântico. O valor esperado de uma observável é o produto interno de Hilbert-Schmidt do operador que representa essa observável e o operador de densidade: ^[ 7 ] $\langle A\rangle =\operatorname {tr} (A\rho ).$

A entropia de von Neumann , nomeada em homenagem a John von Neumann , quantifica o grau de mistura de um estado. ^[ 8 ] Ela estende o conceito de entropia de Gibbs da mecânica estatística clássica para a mecânica estatística quântica e é a contraparte quântica da entropia de Shannon da teoria da informação clássica . Para um sistema mecânico-quântico descrito por uma matriz de densidade $ρ$ , a entropia de von Neumann é ^[ 9 ] $S=-\operatorname {tr} (\rho \ln \rho ),$ onde $\operatorname {tr}$ denota o traço e $\operatorname {ln}$ denota a versão matricial do logaritmo natural . Se a matriz de densidade $ρ$ for escrita em uma base de seus autovetores $|1\rangle ,|2\rangle ,|3\rangle ,\dots$ como $\rho =\sum _{j}\eta _{j}\left|j\right\rangle \left\langle j\right|,$ então a entropia de von Neumann é simplesmente $S=-\sum _{j}\eta _{j}\ln \eta _{j}.$ Nesta forma, S pode ser visto como a entropia de Shannon dos autovalores, reinterpretada como probabilidades. ^[ 10 ]

A entropia de von Neumann desaparece quando $\rho$ é um estado puro. Na representação da esfera de Bloch, isso ocorre quando o ponto $(r_{x},r_{y},r_{z})$ encontra-se na superfície da esfera unitária. A entropia de von Neumann atinge seu valor máximo quando $\rho$ é o estado de mistura máxima , que no caso de um qubit é dado por $r_{x}=r_{y}=r_{z}=0$ . ^[ 11 ]

A entropia de von Neumann e quantidades baseadas nela são amplamente utilizadas no estudo do emaranhamento quântico

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Matrizes de densidade, valores esperados e entropia.

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